¿Qué es una función racional?
Una función racional es una función matemática que se define como el cociente de dos polinomios. Es decir, se tiene una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son polinomios. La forma general de una función racional es:
f(x) = (p(x))/(q(x))
donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) no es igual a cero.
La representación gráfica de una función racional puede ser muy variada, dependiendo de los coeficientes de los polinomios y de las restricciones en el dominio y rango. En este artículo, nos centraremos en entender cómo se grafican las funciones racionales y cómo se determina su dominio y rango.
Gráfica de una función racional
Para graficar una función racional, es útil considerar varios factores, como los puntos críticos, los agujeros o discontinuidades removibles, las asíntotas horizontales y verticales, y el comportamiento cerca del infinito.
Pasos para graficar una función racional:
- Identificar los puntos críticos: Estos son los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero. En estos puntos, la función puede tener agujeros o discontinuidades removibles.
- Buscar los agujeros o discontinuidades removibles: Si en el punto crítico la función no es indefinida, entonces hay un agujero o una discontinuidad removible. Se puede eliminar esta discontinuidad al cancelar los términos comunes entre el numerador y el denominador en el punto crítico.
- Encontrar las asíntotas horizontales: Estas son líneas horizontales a las que la función se acerca a medida que x se acerca al infinito o menos infinito. Las asíntotas horizontales se pueden determinar mediante el límite de la función cuando x tiende al infinito o menos infinito.
- Encontrar las asíntotas verticales: Estas son líneas verticales a las que la función se acerca a medida que x se acerca a un valor específico. Las asíntotas verticales se pueden determinar encontrando los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero, pero no se pueden eliminar mediante cancelación de términos.
- Analizar el comportamiento cerca del infinito: Determinar si la función tiende a un valor específico cuando x tiende al infinito o menos infinito. Esto se puede hacer encontrando el límite de la función en el infinito.
- Graficar la función utilizando los puntos críticos, agujeros, asíntotas horizontales y verticales, y el comportamiento cerca del infinito.
Ahora, vamos a analizar cada uno de estos pasos en detalle.
Identificar los puntos críticos
Los puntos críticos son aquellos valores de x que hacen que el denominador de la función sea igual a cero. Para encontrar estos puntos, se debe resolver la ecuación q(x) = 0. Los valores de x que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de la función.
Por ejemplo, si tenemos la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1), el denominador es x – 1, y el punto crítico se encuentra cuando x – 1 = 0. Resolviendo esta ecuación, obtenemos x = 1.
Buscar los agujeros o discontinuidades removibles
Una vez identificados los puntos críticos, es importante verificar si la función es indefinida en esos puntos o si hay agujeros o discontinuidades removibles.
Para determinar esto, se debe evaluar la función en el punto crítico. Si la función no es indefinida y se pueden cancelar términos entre el numerador y el denominador en el punto crítico, entonces hay un agujero o una discontinuidad removible en ese punto.
Por ejemplo, si tomamos la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1) y evaluamos la función en el punto crítico x = 1, tenemos:
f(1) = ((1)^2 – 1)/((1) – 1)
= 0/0
La función es indefinida en el punto crítico x = 1, por lo que hay una posible discontinuidad en ese punto.
Encontrar las asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales son líneas horizontales a las que la función se acerca a medida que x tiende al infinito o menos infinito. Para determinar las asíntotas horizontales, se debe encontrar el límite de la función cuando x tiende al infinito o menos infinito.
Si el límite de la función es un valor finito, entonces hay una asíntota horizontal en ese valor. Si el límite de la función es infinito positivo o negativo, entonces no hay ninguna asíntota horizontal.
Por ejemplo, si tenemos la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1), tomamos el límite de la función cuando x tiende al infinito:
lim(x -> ∞) [(x^2 – 1)/(x – 1)] = lim(x -> ∞) [x^2/x] = lim(x -> ∞) [x]
= ∞
El límite de la función cuando x tiende al infinito es infinito, por lo que no hay una asíntota horizontal en ese valor.
Encontrar las asíntotas verticales
Las asíntotas verticales son líneas verticales a las que la función se acerca a medida que x se acerca a un valor específico. Para determinar las asíntotas verticales, se deben encontrar los valores de x que hacen que el denominador de la función sea igual a cero.
Si el denominador es igual a cero en algún valor de x, entonces hay una asíntota vertical en ese valor. Sin embargo, no se pueden eliminar las asíntotas verticales mediante la cancelación de términos, ya que representan una restricción en el dominio de la función.
Por ejemplo, si tenemos la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1), el denominador es x – 1. Si resolvemos la ecuación x – 1 = 0, obtenemos x = 1.
El valor de x que hace que el denominador sea igual a cero es x = 1, por lo que hay una asíntota vertical en ese valor.
Analizar el comportamiento cerca del infinito
El comportamiento de la función cerca del infinito se refiere a si la función tiende a un valor específico cuando x tiende al infinito o menos infinito.
Para determinar esto, se debe tomar el límite de la función cuando x tiende al infinito o menos infinito. Si el límite de la función es un valor finito, entonces la función tiene un comportamiento definido cerca del infinito. Si el límite de la función es infinito positivo o negativo, entonces la función tiende a infinito cerca del infinito.
Por ejemplo, si tenemos la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1), tomamos el límite de la función cuando x tiende al infinito:
lim(x -> ∞) [(x^2 – 1)/(x – 1)] = lim(x -> ∞) [x^2/x] = lim(x -> ∞) [x]
= ∞
El límite de la función cuando x tiende al infinito es infinito, por lo que la función tiende a infinito cerca del infinito.
Dominio y rango de una función racional
El dominio de una función racional está determinado por los valores de x que no hacen que el denominador de la función sea igual a cero. Es decir, el dominio es el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida.
Para determinar el dominio de una función racional, se deben resolver las ecuaciones que hacen que el denominador sea igual a cero. Los valores de x que satisfacen estas ecuaciones no están en el dominio de la función.
Por ejemplo, si tenemos la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1), el denominador es x – 1. Resolviendo la ecuación x – 1 = 0, obtenemos x = 1. El valor de x que hace que el denominador sea igual a cero es x = 1, por lo que x = 1 no está en el dominio de la función.
Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1) es el conjunto de todos los valores de x que no son igual a 1.
El rango de una función racional está determinado por los valores de y que la función puede tomar. Es decir, el rango es el conjunto de valores de y que son posibles resultados de la función.
Para determinar el rango de una función racional, se deben analizar los límites de la función cuando x tiende al infinito o menos infinito, así como los agujeros o discontinuidades removibles. Estos valores y límites representan los posibles valores de y.
En el caso de la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1), el límite de la función cuando x tiende al infinito es infinito, por lo que el rango de la función contiene valores infinitos positivos y negativos.
Además, en el punto crítico x = 1, la función es indefinida, lo que significa que hay un agujero en ese punto. El valor de y correspondiente al agujero es desconocido sin más información.
Por lo tanto, el rango de la función f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1) es el conjunto de valores que incluye infinito positivo y negativo.
Conclusión
En resumen, una función racional es una función matemática que se define como el cociente de dos polinomios. La gráfica de una función racional puede tener una variedad de características, como puntos críticos, agujeros o discontinuidades removibles, asíntotas horizontales y verticales, y comportamiento cerca del infinito.
El dominio de una función racional está determinado por los valores de x que no hacen que el denominador sea igual a cero, mientras que el rango está determinado por los posibles valores de y. En el caso de la función racional f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1), el dominio es el conjunto de todos los valores de x que no son igual a 1 y el rango contiene infinito positivo y negativo.
Es importante tener en cuenta que los pasos y conceptos mencionados en este artículo son generales y pueden variar dependiendo de la función racional específica. Siempre es recomendable analizar cada función individualmente antes de graficarla y determinar su dominio y rango.
Preguntas frecuentes
1. ¿Pueden las funciones racionales tener más de un punto crítico?
Sí, las funciones racionales pueden tener más de un punto crítico. Los puntos críticos se determinan cuando el denominador de la función es igual a cero, lo que puede ocurrir en varios valores de x.
2. ¿Qué significa que una función racional tenga una asíntota horizontal?
Una asíntota horizontal es una línea horizontal a la que la función se acerca a medida que x tiende al infinito o menos infinito. Significa que la función tiende a un valor finito a medida que x se aleja hacia el infinito. Por ejemplo, si la función se acerca a y = 2 a medida que x tiende al infinito, entonces hay una asíntota horizontal en y = 2.
3. ¿Son siempre infinito positivo y negativo parte del rango de una función racional?
No siempre. El rango de una función racional puede variar dependiendo de las características de la función. En algunos casos, el rango puede incluir infinito positivo y negativo, mientras que en otros casos puede estar limitado a valores finitos o intervalos específicos.
4. ¿Las asíntotas verticales siempre representan una restricción en el dominio de una función racional?
Sí. Las asíntotas verticales indican que la función no está definida en ciertos valores de x. Estos valores no están en el dominio de la función y representan una restricción en su definición.
5. ¿Es posible que una función racional no tenga asíntotas horizontales ni verticales?
Sí, es posible que una función racional no tenga asíntotas horizontales ni verticales. Esto ocurre cuando el límite de la función cuando x tiende al infinito o menos infinito es infinito positivo o negativo.